容许具有有理 j-不变量且处处好约化的椭圆曲线的二次域

Clemm 与 Trebat-Leder（2014）证明了：存在椭圆曲线在其上处处好约化且具有有理 j-不变量的二次数域，其绝对判别式以 $x$ 为界者之数量为 $\gg x\log^{-1/2}(x)$。在本文中，我们假设 $abc$ 猜想，证明该数量具有尖锐渐近式 $\sim cx\log^{-1/2}(x)$，并在实二次与虚二次两种情形下给出 $c$ 的公式。我们的方法包含三个要素：（1）我们在 Granville 猜想上取得进展：给定固定椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$，具有可约 $f \in \mathbb{Z}[x]$ 的短 Weierstrass 方程 $y^2 = f(x)$，我们证明在假设 $abc$ 猜想下，使二次扭曲 $dy^2 = f(x)$ 具有整非 $2$-扭转点的整数 $d$（$|d| \leq D$）之个数至多为 $D^{2/3+o(1)}$。（2）我们应用 Selberg–Delange 方法获得一个 Tauber 型定理，使我们能在计数满足某些同余条件的整数同时要求其仅被某些素数整除。（3）我们证明对自然数一个多项式稀疏子集，其元素对中最小公倍数不超过 $x$ 者之个数为 $O(x^{1-\epsilon})$（某 $\epsilon > 0$）。我们也给出匹配的下界。若以某个特定尾部界代替 $abc$ 猜想，我们可证明上述所有结果，并证明实二次情形下的系数 $c$ 大于虚二次情形，与实验观测到的偏倚一致。