关于椭圆曲线不变量的平均值

我们证明了关于边长为 $A$ 和 $B$ 的框内所有椭圆曲线族中某些椭圆曲线不变量平均值的几个结果。例如，设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，$p$ 为 $E$ 的好约化素数。设 $e_{E}(p)$ 为 $E$ 模 $p$ 约化后在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上有理点群的指数。设 $\mathcal{C}$ 为椭圆曲线族 $$E_{a,b}:~y^2=x^3+ax+b,$$ 其中 $|a|\leq A$ 且 $|b|\leq B$。我们证明，对于任意 $c>1$ 和 $k\in \mathbb{N}$，$$\frac{1}{|\mathcal{C}|} \sum_{E\in \mathcal{C}} \sum_{p\leq x} e_E^k(p) = C_k {\rm li}(x^{k+1})+O\left(\frac{x^{k+1}}{(\log{x})^c} \right),$$ 当 $x\rightarrow \infty$ 时成立，只要 $A, B>\exp\left(c_{1} (\log{x})^{1/2} \right)$ 且 $AB>x(\log{x})^{4+2c}$，其中 $c_1$ 为适当的正常数。此处 $C_k$ 是文中给出的仅依赖于 $k$ 的显式常数，且 ${\rm li}(x)=\int_{2}^x dt/\log{t}$。作为一般定理的推论，我们证明了几个类似的结果。该证明方法能够将一些已知结果中 $A, B>x^\epsilon$ 且 $AB>x(\log{x})^\delta$ 的条件改进为 $A, B>\exp\left(c_1 (\log{x})^{1/2} \right)$ 且 $AB>x(\log{x})^\delta$。