固定数域中单项整数多项式的自然密度

本文研究了单项整数多项式族（次数为 $n$，且至少有一个根位于固定数域 $K$ 中）的统计分布与渐近行为。尽管薄集理论表明该族在有界高度参数空间中的自然密度为零，但对这一消失速率的显式量化是算术统计学中的核心挑战。我们采用融合马夫尔测度、狄利克雷单位定理及 Dedekind 齐次函数函数残差分析的混合方法，证明了该密度趋于零的收敛速率严格取决于次数 $n$。具体地，我们证明因子次数引发渐近行为的相变；对于次数为 $n=2$ 的多项式，衰减速率受到 $O(H^{-1} \log H)$ 的上界约束，而对于更高次数的多项式，渐近行为由有理根的贡献主导，得到 $O(H^{-1})$ 的界。除得到这些渐近估计外，我们还运用数几何原理，为计数这些多项式的可约与不可约组成部件建立显式组合界限。这些显式界限为该领域的计算评估提供了实用工具。