函数域上Shanks-Renyi素数竞赛中的不等性

固定一个素数 $p >2$ 以及一个含 $q$ 个元素的有限域 $\mathbb{F}_{q}$，其中 $q$ 是 $p$ 的幂。令 $m$ 为多项式环 $\mathbb{F}_{q}[T]$ 中的首一多项式，使得 $deg(m)$ 很大。固定一个整数 $r\geq 2$，并令 $a_1,\dots,a_r$ 为模 $m$ 互素的不同剩余类。在本文中，我们在LI(线性独立假设)的假设下，推导了所有正整数 $X$ 的集合的自然密度 $\delta_{m;a_1,\dots,a_r}$ 的渐近公式，其中满足 $\sum\limits_{N=1}^{X} \pi_{q}(a_1,m,N) > \sum\limits_{N=1}^{X} \pi_{q}(a_2,m,N) > \dots > \sum\limits_{N=1}^{X} \pi_{q}(a_r,m,N)$，这里 $\pi_{q}(a_i,m,N)$ 表示 $\mathbb{F}_{q}[T]$ 中次数为 $N$ 且同余于 $a_i \bmod m$ 的不可约首一多项式的个数。我们的结果带来许多推论。首先，我们推导出当 $deg(m)$ 增大时 $\delta_{m;a_1,a_2}$ 收敛到 $\frac{1}{2}$ 的确切速率，其中 $a_1$ 是模 $m$ 的二次非剩余而 $a_2$ 是二次剩余，推广了Fiorilli和Martin的工作。此外，类似于数域情形，我们表明一旦 $deg(m)$ 很大，双向竞赛的表现不同于涉及三个或更多竞争者的竞赛。特别地，在涉及三个或更多模 $m$ 的二次剩余(或二次非剩余)的竞赛中确实会出现偏置。本文是Lamzouri工作的函数域类比，后者在数域情形建立了类似结果。然而，我们给出了函数域中一些LI不成立且相关密度消失或表现不同于数域情形的竞赛例子。