Shanks-Renyi 素数竞赛中的不对称性

人们很早就观察到，若 $a$ 是模 $q$ 的非平方剩余而 $b$ 是模 $q$ 的平方剩余，则形如 $\pi(x;q,a) > \pi(x;q,b)$ 的不等式更可能成立（即所谓的“Chebyshev 偏差”）。例如，$\pi(x;8,3)$、$\pi(x;8,5)$ 与 $\pi(x;8,7)$ 各自往往都略大于 $\pi(x;8,1)$。然而，近来人们发现这三个 $\pi(x;8,a)$ 支配 $\pi(x;8,1)$ 的倾向强度并不相同。一个相关现象是，在 $\{a_1,a_2,a_3\}=\{3,5,7\}$ 下形如 $\pi(x;8,a_1) > \pi(x;8,a_2) > \pi(x;8,a_3)$ 的六种可能不等式并非等可能——某些排序优先于其他排序。本文讨论这些现象，聚焦于模 $q=8$ 与 $q=12$，并解释为何观察到的是这些（而非其他可能的）不对称性。