$k$ 个素数乘积的 Chebyshev 偏置

对于任意 $k\geq 1$，我们研究在两个不同算术级数中满足 $\omega(n)=k$ 或 $\Omega(n)=k$ 的整数 $n\leq x$ 的数量之差的分布，其中 $\omega(n)$ 是 $n$ 的不同素因子个数，$\Omega(n)$ 是 $n$ 的素因子个数（计入重数）。在一些合理假设下，我们证明，若 $k$ 为奇数，满足 $\Omega(n)=k$ 的整数偏好二次非剩余类；若 $k$ 为偶数，此类整数偏好二次剩余类。该结果证实了 Richard Hudson 的一个猜想。然而，满足 $\omega(n)=k$ 的整数始终偏好二次剩余类。此外，随着 $k$ 增大，这两种情形的偏置均越来越小。