关于一类与Chebyshev多项式相关的序列

本文考察了一类由正整数$n$标记线性递推序列的族中素数的出现情况。每个序列的项对应于特定类的Lehmer数，或（将其视为$n$中的多项式）所谓的第四类Chebyshev多项式的膨胀版本，亦称翼型多项式(airfoil polynomials)。证明表明，当$n$的取值由第一类Chebyshev多项式在适当整数处的求值给出时，该序列要么含单个素数，要么无任何项为素数。对于$n$的所有其他取值，猜想该序列含无穷多素数，其分布具有类似于Mersenne素数在Mersenne数中的分布之性质。对与负整数$n$相关的序列——其对应于第三类Chebyshev多项式及另一族Lehmer数——也得到了类似结果。