论与线性递推第 $n$ 项互素的数 $n$

设 $(u_n)_{n \geq 0}$ 为非退化整数线性递推序列，$\mathcal{A}$ 为满足 $u_n$ 与 $n$ 互素的正整数 $n$ 构成的集合。我们证明 $\mathcal{A}$ 具有渐近密度，且除非 $(u_n / n)_{n \geq 1}$ 为线性递推序列，否则该密度为正。