自然数集的密度与Levy群

设$\N$为正整数集。集合$A \subseteq \N$的渐近密度为$d(A) = \lim_{n\to\infty} |A\cap [1,n]|/n$（若该极限存在）。令$\mathcal{AD}$表示所有具有渐近密度的正整数集的集合，$S_{\N}$表示正整数集$\N$的所有置换的集合。群$\mathcal{L}^{\sharp}$由所有满足“$A \in \mathcal{AD}$当且仅当$f(A) \in \mathcal{AD}$”的置换$f \in S_{\N}$组成；群$\mathcal{L}^{\ast}$由所有满足对一切$A \in \mathcal{AD}$有$d(f(A)) = d(A)$的置换$f \in \mathcal{L}^{\sharp}$组成。设$f:\N \to \N$为单射，满足$d(f(\N))=1$，且若$A \in \mathcal{AD}$则$f(A) \in \mathcal{AD}$。我们证明$f$也必须保持密度，即对一切$A \in \mathcal{AD}$有$d(f(A)) = d(A)$。因此，群$\mathcal{L}^{\sharp}$与$\mathcal{L}^{\ast}$重合。