给定降序或峰集合的排列的增长率

给定集合 $I \subseteq \mathbb{N}$，考虑序列 $\{d_n(I)\},\{p_n(I)\}$，其中对于任意 $n$，$d_n(I)$ 和 $p_n(I)$ 分别计算在对称群 $\mathfrak{S}_n$ 中降序集（分别为峰集）为 $I \cap [n-1]$ 的排列数目。我们考察增长率 $\text{gr} \ d_n(I) = \lim_{n \to \infty} \left(d_n(I)/n!\right)^{1/n}$ 和 $\text{gr} \ p_n(I) = \lim_{n \to \infty} \left(p_n(I)/n!\right)^{1/n}$ 在所有 $I \subseteq \mathbb{N}$ 上的取值。我们的主要贡献有两个方面。首先，我们证明 $\text{gr} \ d_n(I)$ 对于所有 $I \subseteq \mathbb{N}$ 的取值恰好是区间 $\left[0,2/\pi\right]$。为此，我们构造一个算法，显式构建 $I$ 以实现区间中任意给定的极限 $L$。其次，我们证明周期性集合 $I \subseteq \mathbb{N}$ 的 $\text{gr} \ p_n(I)$ 形成 $\left[0,1/\sqrt[3]{3}\right]$ 中的稠密集。我们通过显式找到，对于区间中任意给定的 $L$，构造一个其对应的增长率接近 $L$ 的集合 $I$。