多重集排列的下降数与逆序数的正态逼近

关于集合 $\{1,2,...,n\}$ 的排列的下降数与逆序数的正态逼近是众所周知的。许多实际出现的序列，例如人类基因组和其他基因组，包含许多重复元素。受此类例子启发，我们考虑具有 $n$ 个元素的多重集的一个排列 $\pi(1), \pi(2),...,\pi(n)$ 的逆序数，即满足 $1\leq i < j \leq n$ 且 $\pi(i)>\pi(j)$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。下降数是满足 $1\leq i < n$ 且 $\pi(i) > \pi(i+1)$ 的 $i$ 的个数。我们证明，在适当规范化后，只要该多重集的排列等可能地取遍所有可行排列，且多重集中没有任何元素出现次数超过 $\alpha n$ 次（其中固定 $\alpha$ 满足 $0<\alpha < 1$），则当 $n\to\infty$ 时，该多重集随机排列的逆序数和下降数的分布均趋于正态分布。这两个正态逼近定理均使用 Stein 辅助随机化方法的尺寸偏置版本证明，并给出了误差界。