排列的幂中的下降

我们考察更一般的问题的几个特殊情况：具有 certain 属性的排列 $\pi\in\mathcal{S}_n$ 有多少，即 $\pi^2$ 具有 $j$ 个下降。本文首先按 $\pi^2$ 中下降的个数对 Grassmannian 排列进行枚举。随后我们考察所有其平方恰好有一个下降的排列，完整地枚举当下降为“小”情况，并在一般情况给出下界。最后，我们枚举其平方或立方具有最大下降数的排列，并以几条未来的研究方向收尾。