排列幂中的下降数与逆序数

本文推广了 Archer 和 Geary 关于排列幂中下降数的若干最近结果，并证实了他们的所有猜想。具体而言，对于所有 $k\in\mathbb{Z}^+$，我们证明了在 $n\geq2k+1$ 时，排列集 $\mathcal{S}_n$ 中第 $k$ 次幂的下降数和逆序数的期望值的显式公式。我们还计算了保持 Grassmanian 性质的排列数量，即第 $k$ 次幂仍为 Grassmanian 的排列数，以及具有最多下降数的排列数量。