错位排列及其他具有指定不动点数的排列中的逆序统计量

我们研究不动点如何影响排列中的逆序统计量。对于每个 $n\in\mathbb{N}$ 和每个 $k\in\{0,1,\cdots, n\}$，令 $P_n^{(k)}$ 表示 $S_n$ 中恰好具有 $k$ 个不动点的排列集合上的均匀概率测度。我们得到了在测度 $P_n^{(k)}$ 下逆序数的期望值的精确公式，以及对于 $1\le i<j\le n$，$P_n^{(k)}(\sigma^{-1}_i<\sigma^{-1}_j)$ 的精确公式，即数字 $i$ 在数字 $j$ 之前的 $P_n^{(k)}$ 概率。特别地，在 $n\to\infty$ 时，忽略一个超指数小的修正项，随机错位排列（$k=0$）中逆序数的期望值比在 $S_n$ 中均匀随机一般排列所得到的值 $\frac{n(n-1)}4$ 多出 $\frac16n+\frac1{12}$。另一方面，忽略一个超指数小的修正项，对于 $k\ge2$，具有 $k$ 个不动点的随机排列中逆序数的期望值比 $\frac{n(n-1)}4$ 少 $\frac{k-1}6n+\frac{k^2-k-1}{12}$。在临界情况 $k=1$ 下，忽略一个超指数小的修正项，具有一个不动点的随机排列中逆序数的期望值比 $\frac{n(n-1)}4$ 多出 $\frac1{12}$。这些证明策略性地，或许是新颖地，使用了均匀随机排列的中国餐馆构造。