随机置换乘积的置换统计量

给定一个置换统计量 $s : S_n \to \mathbb{R}$，定义其均值统计量 $\bar{s}$ 为在共轭类上计算 $s$ 的均值。我们描述了一种方法，用于计算在共轭类的并集 $\Gamma \subseteq S_n$ 上均匀分布中独立选取的 $t$ 个元素的乘积上 $s$ 的期望值。为了应用该公式，需要将类函数 $\bar{s}$ 表示为不可约 $S_n$-特征标的线性组合。我们为若干常用的置换统计量提供了这样的表达式，包括超越数、逆序数、下降数、主指标和 $k$-循环数。特别地，这导出了上述统计量期望值的公式。