避免长度为三的模式的随机排列中逆序数的期望精确公式与渐近行为

对于$\tau\in S_3$，令$S_n(\tau)$表示$S_n$中避免模式$\tau$的排列集合，令$E_n^\tau$表示关于$S_n(\tau)$上均匀随机概率测度的期望。令$\mathcal{I}_n(\sigma)$表示$\sigma\in S_n$中的逆序数。我们研究$\tau\in\{231,132,213,312\}\subset S_3$时的$E_n^\tau\mathcal{I}_n$。我们证明$$E_n^{231}\mathcal{I}_n=E_n^{312}\mathcal{I}_n=\frac12\frac{n!(n+1)!4^n}{(2n)!}-\frac12(3n+1),$$且$$E_n^{132}\mathcal{I}_n=E_n^{213}\mathcal{I}_n=\frac12(n-1)n-E_n^{231}\mathcal{I}_n.$$由第一式可得$$E_n^{231}\mathcal{I}_n=E_n^{312}\mathcal{I}_n\sim\frac{\sqrt\pi}2n^\frac32.$$我们还证明在$P_n^\tau$下$\mathcal{I}_n$的方差$\text{Var}_{P_n^{\tau}}(\mathcal{I}_n)$满足$$\text{Var}_{P_n^{\tau}}(\mathcal{I}_n)\sim (\frac56-\frac\pi4)n^3\approx 0.048n^3,\ \text{for}\ \tau\in\{231,132,213,312\}.$$