避免长度为三的模式或避免有限个简单模式的排列中连续数字的聚集

对于 $\eta\in S_3$，令 $S_n^{\text{av}(\eta)}$ 表示 $S_n$ 中避免模式 $\eta$ 的排列集合，并令 $E_n^{\text{av}(\eta)}$ 表示在 $S_n^{\text{av}(\eta)}$ 上均匀概率测度的期望。对于 $n\ge k\ge2$ 及 $\tau\in S_k^{\text{av}(\eta)}$，令 $N_n^{(k)}(\sigma)$ 表示 $\sigma\in S_n^{\text{av}(\eta)}$ 中出现在 $k$ 个连续位置上的 $k$ 个连续数字的出现次数，并令 $N_n^{(k;\tau)}(\sigma)$ 表示其中这 $k$ 个数字出现顺序为模式 $\tau$ 的此类出现次数。我们对所有 $2\le k\le n$、所有 $\eta\in S_3$ 及所有 $\tau\in S_k^{\text{av}(\eta)}$，给出了 $E_n^{\text{av}(\eta)}N_n^{(k;\tau)}$ 与 $E_n^{\text{av}(\eta)}N_n^{(k)}$ 的显式公式。这些精确公式进而给出了当 $n\to\infty$ 且 $k$ 固定，以及当 $n\to\infty$ 且 $k=k_n\to\infty$ 时的渐近公式。我们还对 $S_n^{\text{av}(\eta_1,\cdots,\eta_r)}$（即 $S_n$ 中避免模式 $\{\tau_i\}_{i=1}^r$ 的排列子集，其中 $\tau_i\in S_{m_i}$）获得了类似结果，前提是 $\{\tau_i\}_{i=1}^n$ 均为简单排列。其中一个特例是可分排列集合，对应于 $r=2$、$\tau_1=2413$、$\tau_2=3142$。