$p$-偏移随机排列中连续数字的超聚集现象

令 $A^{(n)}_{l;k}\subset S_n$ 表示 $l$ 个连续数字 $\{k,k+1,\cdots, k+l-1\}$ 出现在一组 $l$ 个连续位置中的事件。令 $p=\{p_j\}_{j=1}^\infty$ 为 $\mathbb{N}$ 上的分布且 $p_j>0$。令 $P_n$ 表示 $S_n$ 上对应于 $p$-偏移随机排列的概率测度。我们在附加假设 $\{p_j\}_{j=1}^\infty$ 非增的条件下得到的主要结果为： $$\begin{aligned} &\lim_{l\to\infty}\lim_{n\to\infty}P_n(A^{(n )}_{l,k})=\big(\prod_{j=1}^{k-1}\sum_{i=1}^jp_i\big) \big(\prod_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^jp_i\big), \end{aligned}$$ 且若 $\lim_{n\to\infty}\min(k_n,n-k_n)=\infty$，则 $$\begin{aligned} &\lim_{l\to\infty}\lim_{n\to\infty}P_n(A^{(n )}_{l,k_n})= \big(\prod_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^jp_i\big)^2. \end{aligned}$$ 特别地，这些极限为正当且仅当 $\sum_{j=1}^\infty jp_j<\infty$。当极限为正时，我们称发生了超聚集。我们还给出了 $S_\infty$ 上 $p$-偏移概率分布类的一个新刻画。