峰多项式正性猜想的证明

我们称一个排列 $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in \mathfrak{S}_n$ 在指标 $i$ 处有一个峰，如果 $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$。令 $\mathcal{P}(\pi)$ 表示 $\pi$ 有峰的指标集合。给定一个正整数集合 $S$，我们定义 $\mathcal{P}_S(n)=\{\pi\in\mathfrak{S}_n:\mathcal{P}(\pi)=S\}$。2013年，Billey、Burdzy 和 Sagan 证明了对正整数子集 $S$ 和足够大的 $n$，有 $| \mathcal{P}_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$，其中 $p_S(x)$ 是一个依赖于 $S$ 的多项式。他们给出了一个涉及交错和的 $p_S(x)$ 递推公式，并猜想 $p_S(x)$ 在以 $\max(S)$ 为中心的二项系数基下展开的系数均非负。本文中我们引入了一个不含交错和的 $|\mathcal{P}_S(n)|$ 的新递推公式，并利用此递推证明了他们的猜想成立。