关于 $\{1,\ldots,n\}$ 的排列及相关论题

本文研究 $\{1,\ldots,n\}$ 的排列及相关论题的组合性质。特别地，我们证明存在唯一的 $\{1,\ldots,n\}$ 的排列 $\pi$，使得所有数 $k+\pi(k)$（$k=1,\ldots,n$）均为 2 的幂。我们还证明对任意整数 $n>2$ 有 $n\mid\text{per}[i^{j-1}]_{1\le i,j\le n}$。我们猜想：若群 $G$ 不含阶为 $2,\ldots,n+1$ 中任一元素的元素，则任意 $A\subseteq G$ 且 $|A|=n$ 可写为 $\{a_1,\ldots,a_n\}$，使得 $a_1,a_2^2,\ldots,a_n^n$ 两两不同。当 $G$ 为无挠阿贝尔群时该猜想被证实。我们还证明：对无挠阿贝尔群 $G$ 的任意有限子集 $A$，若 $|A|=n>3$，则存在 $A$ 中所有元素的一个编号 $a_1,\ldots,a_n$，使得如下 $n$ 个和 $$a_1+a_2+a_3,\ a_2+a_3+a_4,\ \ldots,\ a_{n-2}+a_{n-1}+a_n,\ a_{n-1}+a_n+a_1,\ a_n+a_1+a_2$$ 两两不同。