外代数与有限阿贝尔群的两个猜想

设 $G$ 是一个满足 $|G|>1$ 的有限阿贝尔群。设 $a_1,\ldots,a_k$ 是 $G$ 中 $k$ 个互不相同的元素，$b_1,\ldots,b_k$ 是 $G$ 中（不必互不相同的）元素，其中 $k$ 是小于 $|G|$ 的最小素因子的正整数。我们证明，存在一个 $\{1,\ldots,k\}$ 上的置换 $\pi$，使得 $a_1b_{\pi(1)},\ldots,a_kb_{\pi(k)}$ 互不相同，前提是 $|G|$ 的任何其他素因子（如果有的话）都大于 $k!$。这特别地证实了关于阿贝尔 $p$-群的 Dasgupta-Karolyi-Serra-Szegedy 猜想。我们还提出了一个涉及行列式和特征标的新猜想，并证明其成立蕴含了关于奇数阶阿贝尔群的 Snevily 猜想。我们的方法涉及外代数和特征标。