关于具有秩为 $k$ 的极大初等阿贝尔正规子群的 $p$-群

文献中有若干关于具有秩为 $k$ 的极大初等阿贝尔正规子群的 $p$-群 $G$ 的结果，出自 Thompson、Mann 等人。遵循 Sambale 的一个想法，我们得到了 $2$-群 $G$ 的生成元个数等的关于 $k$ 的界，这些界此前仅对 $p>2$ 已知。我们还证明了一个即便对奇素数也是全新的定理。即，我们证明若 $G$ 具有秩为 $k$ 的极大初等阿贝尔正规子群，则对任意阿贝尔子群 $A$，Frattini 子群 $\Phi(A)$ 可由 $2k$ 个元素生成（$p=2$ 时为 $3k$）。其证明依赖于如下具有独立意义的结论：若 $V$ 是 $n$ 维向量空间，则 End$(V)$ 的任意交换子代数包含一个余维数至多为 $n$ 的零代数。