元素与其自同态像交换的非阿贝尔群的生成元最小数量与阶数最小值

每个元素都与其自同态像交换的群称为 $E$-群。若 $p$ 为素数，则是 $E$-群的 $p$-群 $G$ 称为 $pE$-群。显然，每个阿贝尔群都是 $E$-群。我们证明每个 2-生成元 $E$-群都是阿贝尔群，且所有 3-生成元 $E$-群都是幂零类至多为 2 的幂零群。我们还证明了每个无限 3-生成元 $E$-群都是阿贝尔群。我们猜想每个有限 3-生成元 $E$-群都应是阿贝尔群。此外，我们表明对于任意奇素数 $p$，非阿贝尔 $pE$-群的最小阶数为 $p^8$，而对于 $p=2$，该阶数为 $2^7$。其中部分结果是在比 $E$-群类更广泛的类中证明的。