具有 $p$ 阶非内自同构的 3 类有限 $p$-群

一个长期悬而未决的猜想断言:每个非 Abel 有限 $p$-群 $G$ 都容许一个 $p$ 阶非内自同构。该猜想对 2 类有限 $p$-群成立。本文证明:每个 $p>2$ 的类为 3 的有限非 Abel $p$-群 $G$ 都具有一个逐点固定 $\Phi(G)$ 的 $p$ 阶非内自同构。我们还证明:若 $G$ 是一个不能由 4 个元素生成的 3 类有限 2-群,则 $G$ 具有一个逐点固定 $\Phi(G)$ 的 2 阶非内自同构。我们还证明:当 $G$ 的中心不是循环群且 $G$ 的最小生成元数为 2 或 4 时,以及当 $G$ 的中心 {\em 不} 由 2 个元素生成且 $G$ 的最小生成元数为 3 时,后一结论对 3 类有限 2-群 $G$ 成立。我们还就 $G$ 的中心因子的最小生成元数与 $G$ 的秩的某个函数相关的条件下,证明了有限 $p$-群 $G$ 存在 $p$ 阶非内自同构的一些结果。