在$p$-群的Frattini商上诱导的极大线性群

设 $p>3$ 为素数。对于满足 $|H| \geqslant p^{3d+1}$ 的每个极大子群 $H\leqslant\mathrm{GL}(d,p)$，我们构造一个 $d$ 生成元有限 $p$-群 $G$，使得 $\mathrm{Aut}(G)$ 在 Frattini 商 $G/\Phi(G)$ 上诱导出 $H$，且 $|G| \leqslant p^{\frac{d^4}{2}}$。该构造的一个显著特征是 $|G|$ 相较于 $|H|$ 非常小，从而为 Bryant 与 Kov\'acs 的一个著名结果提供了新视角。我们所给出的群 $G$ 具有指数 $p$，并且在所有满足 $H$ 在 $G/\Phi(G)$ 上所需作用的此类群 $G$ 中，该构造给出了具有最小幂零类、且在大多数情况下最小阶的群。