pro-$p$群的Frattini抵抗直积

一个pro-$p$群 $G$ 若从 $G$ 的所有闭子群偏序集到自身的映射 $H \mapsto \Phi(H)$ 是一个偏序嵌入,则称为强Frattini抵抗的。Frattini抵抗pro-$p$群自然地出现在Galois理论中。事实上,包含本原 $p$ 次单位根(若 $p=2$ 还包含 $\sqrt{-1}$)的域上的每个极大pro-$p$ Galois群都是强Frattini抵抗的。设 $G_1$ 与 $G_2$ 为非平凡pro-$p$群。我们证明 $G_1 \times G_2$ 是强Frattini抵抗的,当且仅当直积因子之一 $G_1$ 或 $G_2$ 为无挠阿贝尔群,而另一个具有其所有闭子群均无挠阿贝尔化之性质。作为推论,我们得到了Koenigsmann关于容许非平凡直积分解的极大pro-$p$ Galois群结果的群论证明。此外,我们给出一个非强Frattini抵抗但其Frattini函数定义所有拓扑有限生成子群偏序集的序自嵌入之群的例子。