中心化子的 pro-p 扩张的子群性质

我们证明，在以下两种情形中，作用于具有 procyclic 边稳定子的 pro-p 树 $T$ 上的有限生成 pro-p 群是有限 pro-p 群图的基本 pro-p 群，其边群和顶点群分别为 $T$ 的某些顶点和边的稳定子：1) 该作用是 $n$-非圆柱形的，即任何非单位元固定不超过 $n$ 条边；2) 群 $G$ 由其顶点稳定子生成。该定理被用于从类 $\mathcal{L}$ 中获得若干关于 pro-p 群的结果，该类在 [Math. Z. 267 (2011), 109-128] 中被定义和研究，作为极限群的 pro-p 类比。我们证明类 $\mathcal{L}$ 中的每个 pro-p 群 $G$ 是有限 pro-p 群图的基本 pro-p 群，具有无限 procyclic 或平凡边群以及有限生成顶点群；此外，所有非交换顶点群均属于相对于自然层级而言比 $G$ 层级更低的类 $\mathcal{L}$。这使我们能够对 [Math. Z. 267 (2011), 109-128] 中的问题 9.1 和 9.3 给出肯定回答。即，我们证明类 $\mathcal{L}$ 中的群 $G$ 的 Euler-Poincar\'e 示性数为零当且仅当它是交换的，并且如果 $G$ 的每个交换 pro-p 子群是 procyclic 的且 $G$ 本身不是 procyclic 的，则 $def(G) \geq 2$。此外，我们证明 $G$ 满足 Greenberg-Stallings 性质，且 $G$ 的任何有限生成非交换子群在其 commensurator 中具有有限指数。我们还证明所有非可解 Demushkin 群满足 Greenberg-Stallings 性质，且其每个有限生成非平凡子群在其 commensurator 中具有有限指数。