具有正秩梯度的 pro-$p$ 群与 Hausdorff 维数

设 $G$ 是一个具有正秩梯度的有限生成 pro-$p$ 群。受 Hausdorff 维数研究的启发，我们证明 $G$ 中指数为无限的有限生成闭子群 $H$ 绝不含有任何在 $G$ 中经由有限生成逐次商次正规的子群 $K$。这一 Greenberg 著名定理的 pro-$p$ 版本推广了已知对非交换自由 pro-$p$ 群、非可解 Demushkin pro-$p$ 群及其他相关 pro-$p$ 群成立的类似断言。我们所证结果令人联想到 Gaboriau 关于具有正第一 $\ell^2$-Betti 数的可数群定理，但并非其直接类比。通过 pro-$p$ 群中 Hausdorff 维数概念的方法也导出了我们的主要结果。我们证明每个具有正秩梯度的有限生成 pro-$p$ 群 $G$ 关于 Frattini 序列~$\mathcal{F}$ 具有满 Hausdorff 谱 $\text{hspec}^\mathcal{F}(G) = [0,1]$。利用不同的李理论技巧，我们也证明了有限生成非交换自由 pro-$p$ 群与非可解 Demushkin 群 $G$ 关于 Zassenhaus 序列~$\mathcal{Z}$ 具有满 Hausdorff 谱 $\text{hspec}^\mathcal{Z}(G) = [0,1]$。这解决了 pro-$p$ 群 Hausdorff 维数领域一个长期存在的问题。关于满 Hausdorff 谱的结果更一般地成立于具有正秩梯度的有限生成 pro-$p$ 群的有限直积，以及分别由有限生成非交换自由 pro-$p$ 群与非可解 Demushkin 群组成的混合有限直积。类似地，上述关于 Frattini 序列的结果进一步推广到关于任意迭代 verbal 滤过的 Hausdorff 维数函数。最后，我们确定了此类直积的正规 Hausdorff 谱。