关于自由 pro-$p$ 群与某些 $p$-adic 分析群的海福斯谱

我们证明了由自由 pro-$p$ 群的有限生成非阿贝尔直积构成的群 $G$ 相对于下 $p$-级 $\mathcal{L}$ 具有完整的海福斯谱。这补充了关于其他标准滤纸级数的结果，以及最近表明 $p$-adic 分析 pro-$p$ 群 $G$ 的海福斯谱 $\text{hspec}^\mathcal{L}(G)$ 为离散的，且由至多 $2^{\dim(G)}$ 个有理数组成的定理。后者也留下了关于上界的改进空间。事实上，对于有限生成的 nilpotent pro-$p$ 群 $G$，我们得到更强的断言：海福斯谱的基数至多为 $G$ 的分析维数。此外，我们为 $p$-adic 分析 pro-$p$ 群 $G$ 是无限的（即仅由有限个无穷大子群构成）情况提供了相应结果，这不仅适用于下 $p$-级，也适用于任意滤纸级数。最后，我们表明若 $G$ 是基于可数基数的 pro-$p$ 群，且存在一个开子群映射到自由阿贝尔 pro-$p$ 群 $\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_p$，则对每一个给定的有限集 $\{0,1\} \subseteq X \subseteq [0,1]$，都存在一个滤纸级数 $\mathcal{S}$ 使得 $\text{hspec}^\mathcal{S}(G) = X$；特别是，$\mathcal{S}$ 遍历其海福斯谱基数有限的所有滤纸级数时，$|\text{hspec}^{\mathcal{S}}(G)|$ 是无界的。