关于脊柱群的有限生成 Hausdorff 谱

我们研究了作用在有根树上的脊柱自同构群的有限生成 Hausdorff 谱。对于任意 $\alpha \in [0,1]$，我们构造了一个分支群 $G_\alpha$，使得 $G_\alpha$ 拥有一个有限生成子群 $H$，且 $H$ 在 $G$ 中的 Hausdorff 维数为 $\alpha$。利用 Barnea、Shalev 和 Klopsch 的结果，我们进一步推导出该群 $G_\alpha$ 的有限生成 Hausdorff 谱包含 $\mathcal{L}_\alpha \cup ([0, 1] \cap \mathcal{L})$，其中 $\mathcal{L}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个可数子集，而 $\mathcal{L}_\alpha$ 是区间 $[0,\alpha]$ 内某些可数个无理数组成的集合。这回答了 Benjamin Klopsch 提出的一个问题。