一族自相似群中的 Hausdorff 维数

对每个素数 p 与在 p 上可逆的首一多项式 f，我们定义 p 进 rooted tree 的 p 进自同构群 $G_{p,f}$。这些群以首个 Grigorchuk 群为模型，在该设定下其为群 $G_{2,x^2+x+1}$。我们证明所构造的群为自相似、正则分支群。这使我们能够计算其闭包的 Hausdorff 维数，给出（不使用随机方法）p 进自同构群中拓扑有限生成闭子群具有任意接近 1 的 Hausdorff 维数的具体例子。我们给出有限约束群通过分支性质的一个刻画，并作为推论得出所有所定义群均为有限约束的。此外，我们证明所有无限的 p 进自同构有限约束群具有正且有理的 Hausdorff 维数，并给出有限约束群 Hausdorff 维数的一般公式。进一步讨论了其他“有限性”性质（顺从性、挠性与中间增长）。