具有特殊自仿复杂度的 Anosov 子群极限集的 Hausdorff 维数

设 $\Gamma\subset \mathsf{PGL}(d,\mathbb{R})$ 为不可约的射影 Anosov 子群，记其射影极限集为 $\Lambda^1(\Gamma)$。将 $\Lambda^1(\Gamma)$ 视作自仿集的类比，我们在关于其仿射复杂度的特定假设下研究 $\Lambda^1(\Gamma)$ 的 Hausdorff 维数：1. 若 $\Lambda^1(\Gamma)$ 达到满 Hausdorff 维，则 $d=2$ 且 $\Gamma$ 为 cocompact 格。2. 若 $d=3$ 且 $\Gamma$ 为闭曲面群的不可约 Anosov 表示的像，则 $\Lambda^1(\Gamma)$ 的 Hausdorff 维数不为 1，除非该表示为 Hitchin 表示。3. 若极限集 $\Lambda^1(\Gamma)$ 表现出部分准自仿性（以 Falconer 参考文献 \cite{falconerselfsimilar1} 的定义）——这可由 $\Gamma$ 的“规则失真性”暗示——则 $\Lambda^1(\Gamma)$ 的 Hausdorff 维数等于第一个简单根的临界指数。本文结果的一个应用是计算任意 $\Theta$-正表示的凸致密 Fuchsian 群的极限集的 Hausdorff 维数。