Hadamard 空间乘积上的广义 Patterson-Sullivan 测度

设 Γ 是一个离散群，通过等距作用在 Hadamard 空间的乘积 X = X₁ × X₂ 上。我们进一步要求 X₁、X₂ 是局部紧的，且 Γ 包含两个元素，它们投影到每个因子中的一对独立秩一等距。除了作用在 CAT(-1) 空间乘积上的离散群之外，此类群最有趣的例子可能是有限域上的 Kac-Moody 群，它们作用在其关联孪生建筑的 Davis 复形上。在之前的一篇文章中，我们证明了正则几何极限集 Lim 分解为一个乘积 F_Γ × P_Γ，其中 F_Γ ⊆ ∂₁ × ∂₂ 是几何极限集到 ∂₁ × ∂₂ 的投影，而 P_Γ 编码了每个因子中轨道点发散速度的比率。本文旨在从测度论的角度描述极限集。我们首先研究从经典 Patterson-Sullivan 构造得到的共形密度，然后将此构造推广，以获得支撑在正则极限集每个 Γ-不变子集上的测度，并研究它们的性质。最后，我们证明 Lim 的每个 Γ-不变子集中径向极限集的 Hausdorff 维数由上界给出，该上界是前一篇文章中引入的指数增长率。