可测泊松边界的构造：从离散群到连续群

设 $\Gamma$ 为局部紧连续群 $G$ 的稠密可数子群。在 $\Gamma$ 上取一概率测度 $\mu$。存在两个自然的调和函数空间：可数群 $\Gamma$ 上的 $\mu$-调和函数空间，以及视为在 $G$ 上定义、关于其 Haar 测度 $\lambda$ 几乎处处(a.s.)的 $\mu$-调和函数空间。这导致了两个自然的泊松边界：$\Gamma$-泊松边界与 $G$-泊松边界。由于可数群上的边界已相当清楚，一个自然的问题是询问 $G$-边界如何与 $\Gamma$-边界相关联。本文提出一种从 $\Gamma$-边界构建 $G$-泊松边界的理论框架。我们将此技术应用于构建实矩阵群中 Baumslag-Solitar 群闭包的泊松边界。特别地，我们证明在矩条件下且当在 $\mathbf{R}$ 上的作用非收缩时，该边界为 $p$-螺线管(p-solenoid)。