Thompson 群 $F$ 不是 Liouville 群

我们证明，由严格非退化的有限支撑概率测度 $\mu$ 驱动的 Thompson 群 $F$ 上的随机游走具有非平凡的 Poisson 边界。证明在于显式构造两个不同的非平凡 $\mu$-边界。它们均借助 $F$ 在单位区间上的标准作用的二进有理数轨道上的 Schreier 图 $\Gamma$ 来定义（实际上，我们考虑将 $F$ 自然嵌入到实直线的分段线性同胚群 $PLF({\mathbb R})$ 中，并在 ${\mathbb R}$ 中的二进有理数轨道上实现 $\Gamma$）。然而，这些 $\mu$-边界所描述的无穷远行为截然不同（这与群 $F$ 关于顺从性的矛盾心理完全吻合）。第一个 $\mu$-边界类似于灯夫群的边界：它由 $\Gamma$ 上 ${\mathbb Z}$ 值的构型组成，这些构型源于随机游走样本路径上斜率的对数增量的稳定化。第二个 $\mu$-边界更类似于具有双曲性质的群的边界，因为它由图 $\Gamma$ 的端点丛的截面组成：这些截面是由 $\Gamma$ 上诱导随机游走的极限端点按所有可能起点参数化构成的集合。