群扩张的 Poisson 边界

给定有限生成群，著名的稳定性问题询问 Poisson-Furstenberg 边界（等价于存在非常数有界调和函数）的非平凡性是否依赖于群上简单随机游走的选择。即便在线性群类中，该问题也远未被理解。给定顺从群，例如可解群，尚无已知刻画——哪怕是猜想性的——说明其何时容许具有非平凡边界的简单随机游走。我们对特征 $p$ 的有限生成线性群给出了具有非平凡边界的群的刻画。我们特别证明稳定性问题在此类群中具有肯定答案。对于特征 $0$ 的线性群，我们证明了一个边界平凡性的充分条件，其不依赖于简单随机游走的选择。我们猜想我们的充分条件也是必要的。我们的论证基于群扩张的新比较准则、新的 $\Delta$-限制熵估计与边界非平凡性准则，以及边界平凡性的新“谨慎性”准则。