Gromov 双曲度量空间中的几何与动力学：侧重非真设定

本专著阐述了等距作用于 Gromov 双曲度量空间的群与半群理论的基础。我们的工作统一并扩展了许多作者的大量成果。我们特意避免任何真性 (properness) 或紧性假设，同时牢记 motivating example $\mathbb H^\infty$，即实数域上非紧型无限维秩一对称空间。该专著提供了许多作用于 $\mathbb H^\infty$ 的群的例子，这些例子展示了有限维理论中未见的广泛现象。此类例子往往证明了我们要理的最优性。我们引入了 Poincaré 指数的一个修正形式，这是一个群的不变量，比通常的 Poincaré 指数提供更多信息；随后我们利用它极大地推广了 Bishop--Jones 定理，该定理将径向极限集的 Hausdorff 维数与底层半群的 Poincaré 指数联系起来。我们基于结果给出了一些例子，阐明了 Hausdorff 维数与非真设定中出现的各种离散性概念之间的联系。我们在无任何紧性假设的情况下，为发散型群构造了 Patterson--Sullivan 测度。这一构造首先是在底层双曲空间边界化 (bordification) 的 Samuel--Smirnov 紧化上构造此类测度，然后证明这些测度支撑在边界化上。我们从 (a) 加倍性和 (b) 精确维数性两个方面研究了几何有限群的拟共形测度。我们的分析用边界上的 Diophantine 逼近刻画了精确维数性。我们证明了某些 Patterson--Sullivan 测度既非加倍也非精确维数，某些是精确维数但非加倍，但所有加倍测度都是精确维数的。