关于 Abért 和 Virág 的一个问题

Abért 和 Virág 于 2005 年证明了 $p$-进自同构群 $W_p$ 的层传递一维子群的任意非平凡正规子群的 Hausdorff 维数恒为 1。他们进一步提出问题：若将“一维”替换为“正维数”，该结论是否依然成立。一方面，我们通过给出反例对一般情形提供了否定回答，其中非平凡正规子群并非全为一维。此外，这些反例是 $W_p$ 中具有正 Hausdorff 维数但具有非平凡中心的 pro-$p$ 子群，因此不是弱分支群。另一方面，我们将自身限制在自相似群类中，并在此情形下对 Abért 和 Virág 的问题给出了肯定回答。在此过程中，我们将 Abért 和 Virág 关于 $W_p$ 闭子群在 Hausdorff 维数意义下是完美的这一结果推广到任意迭代圈积 $W_H$ 的闭子群，并证明了 $W_H$ 的自相似正维数子群不满足任何群律。