正特征下对偶幂零锥的正规性

设 $G$ 为定义在正特征代数闭域 $K$ 上的伴随型连通半单代数群。当特征 $p$ 适当大，且若 $G$ 为 $A_n$ 型时 $p$ 不整除 $n+1$，则称特征 $p$ 对 $G$ 非常好。关于正特征下代数群几何结构的大多数结果仅在非常好的特征下有效。我们证明了对偶幂零锥 $\mathcal{N}^* \subseteq \mathfrak{g}^*$ 在某些对 $G$ 并非非常好的特征下是一个正规簇。作为一个应用，我们扩展了Ardakov和Wadsley关于 $p$-进李群表示的结果。在对特征进一步限制的条件下，我们证明了一个半单 $p$-进李群在 $p$-进Banach空间中的余容许表示的典范维数要么为零，要么至少是非零余伴随轨道维数的一半。