关于作用于根树上的有限生成Hausdorff谱的群
群论
2025-04-17 v1
摘要
我们通过证明，闭合于由有限生成正则分支群相对于层稳定子滤波器构成的子群的有限生成Hausdorff谱为完整区间[0,1]，回答了Klopsch（1999）和Shalev（2000）的两个长期问题。此前与上述问题相关的工作包括Ab\'ert和Vir\'ag关于（局部自动群）有限生成Hausdorff谱完备性的著名结果。我们将其结果推广至任何层传递的迭代扭积作用于规则根树上的群，更重要的是，我们提供了有限生成子群具有预先指定Hausdorff维数的显式示例。事实上，在中，这些子群可取为2生成，这进一步支持了Ab\'ert和Vir\'ag的猜想。此外，我们将Klopsch（1999）关于分支群的著名结果推广至闭合层传递群，其刚性稳定子具有满维度。在此基础上，我们首次确定许多著名的弱分支群的Hausdorff谱。作为额外的新贡献，我们定义了"光滑滤波器"（包括层稳定子滤波器）。事实上，第一个和最后一个结果可以更一般地针对这些滤波器（在可能的进一步假设下）进行证明。最后，我们还考虑两个标准滤波器，即次中心下降系列和维数子群或Jenning-Zassenhaus系列在第一个Grigorchuck群的闭合中，并显示其有限生成Hausdorff谱也是完整区间[0,1]，回答了de las Heras和Thillaisundaram（2022）的最近问题。通过归约到关于光滑滤波器的性质来获得这一结果。
引用
@article{arxiv.2504.11948,
title = {On finitely generated Hausdorff spectra of groups acting on rooted trees},
author = {Jorge Fariña-Asategui and Oihana Garaialde Ocaña and Jone Uria-Albizuri},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.11948},
year = {2025}
}