分支群的共度增长

在群 $G$ 中固定子群 $\Gamma$，共度增长函数将每个 $n$ 对应为 $G$ 中满足 \[\Gamma: \Gamma \cap \Delta\]\[\Delta : \Gamma \cap \Delta\] = n 的子群 $\Delta$ 的集合的基数。对于 $\Gamma \leq A$ 这样的对，其中 $A$ 是 $p$-正则树的自同构群且 $\Gamma$ 有限生成，我们证明该函数可取有限、可数或不可数基数。对于几乎所有已知的在 $p$-正则树上作用的分支群 $\Gamma$（第一 Grigorchuk 群、扭曲孪生 Grigorchuk 群、Pervova 群、Gupta-Sidki 群等），该函数对任意 $n = p^k$ 恰为 $\aleph_0$。