增长指示函数的帐篷性质及其应用

设$\Gamma$为连通半单实代数群$G$的Zariski稠密离散子群。设$k=\operatorname{rank} G$。令$\psi_\Gamma:\mathfrak{a} \to \mathbb{R}\cup \{-\infty\}$为$\Gamma$的增长指示函数，首次由Quint引入。本文中，我们得到$\psi_\Gamma$的如下逐点界：对所有$v\in \mathfrak{a}$，$$\psi_\Gamma(v) \le \min_{1\le i\le k} \delta_{\alpha_i} \alpha_i(v)$$其中$\Delta=\{\alpha_1, \cdots, \alpha_k\}$为$(\mathfrak{g},\mathfrak{a})$的所有单根集合，$0<\delta_{\alpha_i}\le \infty$为$\Gamma$对应于$\alpha_i$的临界指数。当$\Gamma$为$\Delta$-Anosov时，恰有$k$个方向使等号成立，且对$k\ge 2$成立如下严格不等式：对所有$v\in \mathfrak{a}-\{0\}$，$$\psi_\Gamma(v) <\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \delta_{\alpha_i} \alpha_i (v).$$我们讨论了在$\prod_{i=1}^k \operatorname{SO}(n_i,1)$中凸余紧子群的自连接以及$\operatorname{PSL}(d, \mathbb{R})$的Hitchin子群中的应用。特别地，对Zariski稠密Hitchin子群$\Gamma<\text{PSL}(d, \mathbb{R})$，我们得到对任意$v=\operatorname{diag}(t_1, \cdots, t_d)\in \mathfrak{a}^+$，$$\psi_\Gamma (v) \le \min_{1\le i\le d-1} (t_i -t_{i+1}).$$