Zariski 稠密 Lie 群离散子群中任意接近临界指数的渐近大自由半群

设 $G$ 为一个具有有限中心且无紧因子的连通代数半实数 Lie 群，设 $\Gamma$ 为 $G$ 的 Zariski 稠密离散子群。我们证明 $\Gamma$ 包含临界指数可任意接近 $\Gamma$ 本身的自由 finitely 生成半群。此外，这些半群在 $G$ 中 Zariski 稠密，且在 Kassel--Potrie 的意义上是 $P$-Anosov 的。这表明离散 Lie 群子半群的临界指数不存在间隙现象，与 2003 年证明的 Leuzinger 关于具有 Kazhdan property (T) 的无限面积离散 Lie 群子群的临界指数间隙定理形成对比。作为应用，我们证明临界指数在 Chabauty 拓扑下下半连续，即：若一序列的 Zariski 稠密离散子群 $\{\Gamma_{n}\}$ 在 Chabauty 拓扑下收敛于 Zariski 稠密离散子群 $\Gamma$，则 $\liminf_{n \to \infty} \delta(\Gamma_{n}) \geq \delta(\Gamma)$。