不可约群与边界中的 Ergodicity

我们证明了如果 $G$ 为实半简单 Lie 群，$\Gamma$ 为 $G$ 的离散子群，包含一个在 $G$ 的 Furstenberg 边界上以强方式作用于 Ergodicity 的子群 $\Sigma$，则 $\Gamma$ 不可同构于 $\Sigma$ 与 $\mathbb{Z}$ 的自由积。此外，如果 $\Sigma$ 有代数条目，那么 $\Gamma$ 也具有代数条目。作为推论，我们证明如果所有不可约离散子群都作用于 ${\rm SL}_2(\mathbb{R}) \times {\rm SL}_2(\mathbb{R})$ 的边界上作用于 Ergodicity，那么这些群不能是自由群（甚至也不能是 Gromov 超曲线）。在附录中，我们讨论了离散不可约群存在性与 Lie 群的 Diophantine 属性之间的联系。