乘积群中格的协体积估计

我们研究非离散、紧生成、完全不连通局部紧（tdlc）群的乘积 $G = G_1 \times \dots \times G_n$ 中的格。我们假设每个因子是拟恰非紧的，即 $G_i$ 非紧且 $G_i$ 的每个闭正规子群是离散的或余紧的（例如 $G_i$ 是拓扑单的）。我们证明：包含固定余紧格 $\Gamma$ 且具有稠密投影的 $G$ 的离散子群集合是有限的。若 $\Gamma$ 是非一致的，只要 $G$ 具有 Kazhdan 性质 (T)，同样结果成立。我们证明对任意紧子集 $K \subset G$，满足 $G = \Gamma K$ 且具稠密投影的离散子群 $\Gamma \leq G$ 的集合是一致离散的，因此其协体积远离 $0$ 而有界。当环境群 $G$ 是紧呈现时，我们进一步证明这些格的集合落入有限多个 $Aut(G)$-轨道。作为应用，我们给出了作用于局部有限图乘积且在各因子上具有半本原局部作用的离散群的有限性结果。我们也给出了若干具有独立意义的中间结果。特别地，证明了若非离散、紧生成的拟恰非紧 tdlc 群 $G$ 是离散子群的 Chabauty 极限，则 $G$ 的某个紧开子群是某个素数 $p$ 的无穷生成 pro-$p$ 群。还证明了在任何具有离散顺从根的根的 Kazhdan 群中，格构成闭子群 Chabauty 空间中的一个开子集。