zeta 函数的解析性质与子群增长
群论
2007-05-23 v1
摘要
在本文中我们引入一些新方法来理解群的 zeta 函数的解析行为。随后我们可以将此知识与合适的 Tauber 型定理结合，以推导幂零群中子群增长的结果。为了陈述我们的结果，我们引入如下记号。对实数 α 和非负整数 N，定义 s_N^α(G) = sum_{n=1}^N a_n(G)/n^α。主定理：设 G 为有限生成幂零无限群。(1) ζ_G(s) 的收敛横坐标 α(G) 是一个有理数，且 ζ_G(s) 可以亚纯延拓到 Re(s)>α(G)−δ（对某 δ>0）。该延拓函数在直线 ℜ(s)=α(G) 上除 s=α(G) 处的极点外全纯。(2) 存在非负整数 b(G) 和一些实数 c,c'，使得当 N→∞ 时 s_N(G) ~ c N^{α(G)}(log N)^{b(G)}，s_N^{α(G)}(G) ~ c' (log N)^{b(G)+1}。
关键词
引用
@article{arxiv.math/0011267,
title = {Analytic properties of zeta functions and subgroup growth},
author = {Marcus du Sautoy and Fritz Grunewald},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0011267},
year = {2007}
}
备注
41 pages, published version, abstract added in migration