紧$p$-进解析群表示zeta函数的有理化

我们证明，对于任意FAb紧$p$-进解析群$G$，其表示zeta函数是项$n_{i}^{-s}f_{i}(p^{-s})$的有限和，其中$n_{i}$为自然数且$f_{i}(t)\in\mathbb{Q}(t)$为有理函数。zeta函数的亚纯延拓与横坐标的有理化作为推论随之成立。若$G$进一步为一个pro-$p$群，我们证明其表示zeta函数在$p^{-s}$中是有理的。这些结果此前由Jaikin-Zapirain分别对$p>2$或$G$为一致pro-$2$群的情形证明。我们给出了一个避免Kirillov轨道方法且对所有$p$都成立的新证明。本文为arXiv:2007.10694的第一部分，第二部分作为独立论文上传。