Pólya-Carlson 二分法的一般判据及其应用

我们证明了一个一般判据：对于系数在数域 $K$ 中的无理幂级数 $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$，其以单位圆为自然边界。作为应用，设 $F$ 为有限域，$d$ 为正整数，$A\in M_d(F[t])$ 为元素在 $F[t]$ 中的 $d\times d$ 矩阵，$\zeta_A(z)$ 为紧阿贝尔群 $F((1/t))^d/F[t]^d$ 上乘 $A$ 映射相伴的 Artin-Mazur zeta 函数。我们完整刻画了 $\zeta_A(z)$ 何时为代数数，并证明在超越情形下它以收敛圆为自然边界。这与 $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ 上线性自同态的情形形成鲜明对比，Baake、Lau 和 Paskunas 证明了该情形下 zeta 函数总是有理的。我们讨论了与 Bell、Byszewski、Cornelissen、Miles、Royals 和 Ward 早期工作的某些联系。我们的方法使用了 Bell、Nguyen 和 Zannier 近期工作中的类似技巧，并结合涉及线性递归序列的某些修补论证。