某些数论函数幂级数的超越性

我们给出了 Fatou 定理的一个新证明：{\em 如果一个代数函数的幂级数展开具有有界整数系数，那么它必然是一个有理函数。} 该结果被用于证明，对于任何从 $\mathbb{N}$ 到 $\{-1,1\}$ 的非平凡完全乘性函数，级数 $\sum_{n=1}^\infty f(n)z^n$ 在 $\mathbb{Z}[z]$ 上是超越的；特别是，$\sum_{n=1}^\infty \lambda(n)z^n$ 是超越的，其中 $\lambda$ 是 Liouville 函数。此外，还证明了 $\sum_{n=1}^\infty \mu(n)z^n$ 的超越性。