关于拉盖尔级数的解析性

讨论了将拉盖尔级数 $f (z) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_{n}^{(\alpha)} L_{n}^{(\alpha)} (z)$ 变换为幂级数 $f (z) = \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} z^{n}$ 的问题。许多非解析函数可以用这种方式展开。因此，成功并非必然。可以基于当 $n \to \infty$ 时 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 的衰减速率和符号模式，制定简单的充分条件，以保证 $f(z)$ 在 $z=0$ 处解析。如果当 $n \to \infty$ 时 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 呈指数衰减或阶乘衰减，则可获得有意义的结果。如果当 $n \to \infty$ 时 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 呈代数衰减，情况则复杂得多。如果 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 最终具有相同符号，则幂级数系数的级数展开发散，相应的函数在 $z=0$ 处不解析。如果 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 最终具有严格交替的符号，则幂级数系数的级数展开是可求和的，并且该幂级数表示一个解析函数。在简单的 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 情况下，幂级数系数的发散级数求和通常可以借助超几何级数的解析延拓公式完成，但如果 $\lambda_{n}^{(\alpha)}$ 更复杂，则必须采用数值技术。某些非线性序列变换——特别是所谓的delta变换[E. J. Weniger, Comput. Phys. Rep. \textbf{10}, 189 -- 371 (1989), 方程(8.4-4)]——能有效地对在此背景下出现的发散级数进行求和。